A.

答案显然是 $a_0\ \text{and}\ a_1…$。

B.

贪心。

C.

如果全是 $i \to n+1$，那么可以直接 $1…n+1$。

如果全是 $n+1 \to i$，那么可以直接 $n+1,1…n$。

否则考虑 $1..n+1…n$。

D.

D1 可以直接能连就连

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vector<tuple<int, int>> edge;
 rep (i, 0, n) {
  rep (j, i, n) {
   if (find0(i) != find0(j) && find1(i) != find1(j)) {
    edge.emplace_back(i, j);
    p0[find0(i)] = find0(j);
    p1[find1(i)] = find1(j);
   }
  }
 }
 cout << (int) edge.size() << "\n";
 for (int i = 0; i < (int) edge.size(); i++) {
  cout << get<0>(edge[i]) + 1 << " " << get<1>(edge[i]) + 1 << "\n";
 }

D2 可以改进一下 D1 的做法，先随机连两百万次，这样连通块个数就会变少，再对连通块直接进行暴力连边，能过。

题解的做法大概是把都与能和 1 连的全都连上，然后还剩下 $cnt1$ 个在第一个图里面不能和 1 连边的但是在第二个图已经连过边了，$cnt2$ 同理，所以还可以额外添加 $\min{cnt1,cnt2}$ 个。

E.

  • $l_i \leq a_i \leq r_i$
  • $\sum a_i \leq m$
  • $\gcd(a_1, … , a_n) = 1$。

$n \leq 50, m\leq1e5$，求方案数。

考虑容斥，$ans_d$ 为 $\gcd = d$ 的倍数的方案数，那么最终的答案是 $\sum ans_d \times \mu_d$，$\mu$ 为莫比乌斯函数。

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int n, m;
 cin >> n >> m;
 vector<int> l(n);
 vector<int> r(n);
 for (int i = 0; i < n; i++) {
  cin >> l[i] >> r[i];
  --l[i];
 }
 vector<int> mu(m + 1);
 mu[1] = 1;
 for (int i = 1; i <= m; i++) {
  for (int j = i * 2; j <= m; j += i) {
   mu[j] -= mu[i];
  }
 }
 int ans = 0;
 for (int d = 1; d <= m; d++) {
  if (!mu[d]) {
   continue;
  } else {
   int lim = m / d;
   int sum = 0;
   for (int i = 0; i < n; i++) {
    sum += l[i] / d + 1;
   }
   if (sum > lim) {
    continue;
   }
   int t = lim - sum;
   vector<int> f(t + 1);
   f[0] = 1;
   for (int i = 0; i < n; i++) {
    int v = r[i] / d - l[i] / d;
    for (int j = 1; j <= t; j++) {
     f[j] += f[j - 1];
     if (f[j] >= P) {
      f[j] -= P;
     }
    }
    for (int j = t; j >= v; j--) {
     f[j] -= f[j - v];
     f[j] += f[j] >> 31 & P;
    }
   }
   int cur = 0;
   for (int i = 0; i <= t; i++) {
    cur += f[i];
    if (cur >= P) {
     cur -= P;
    }
   }
   if (mu[d] == 1) {
    ans += cur;
    if (ans >= P) {
     ans -= P;
    }
   } else {
    ans -= cur;
    ans += ans >> 31 & P;
   }
  }
 }
 cout << ans << "\n";

背包部分可以采用 $\frac{1-x^v}{1-x} = (1+…x^{v-1})$（等比数列求和）。